ху/2=8    ху=16    

стороны 3-ка х и 16/х

Гипотенуза:   с²=х²+256/х²        с=√(х⁴+256) /х

Составим функцию периметра: P(x)= х +16/х + √(х⁴+256) /х

Найдем наименьшее значение функции Р(х) на промежутке (0; +∞)

Р'(х)= 1  -16/х² + [(2х⁴ /√(х⁴+256)  - √(х⁴+256)] / x² = 0

Р'(х)= 1  -16/х² + (х⁴-256) /(х²√(х⁴+256) ) = 0

приведем первые 2 слагаемых к общему знаменателю:

(х²-16)/х² + (х²-16)(х²+16)/(х²*√(х⁴+256) = 0

(х²-16) * (1/х² + (х²+16) / ( х²*√(х⁴+256) ) = 0

получаем х²=16

х=4, у=4 - катеты 3-ка с наименьшим периметром

^P'(x)    0____-_____4_______+_____

P(x)          убыв     хmin           возр